積分難題

1.SS(x^2+y^3)dxdy=?

2.SS(x^2+y^3)dydx=?

3.S(1/x)dx=?

4.S(1/(1+x^2))dx=?

5.S(1/(1+x^3))dx=?

希望各位大大熱心的指教
※S代表積分
SORRY,之前的四跟五打錯了

Ps過程重於結果,不是嗎

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多重積分的部份我沒學過~
不是很確定的我就沒 PO 了~
看有沒有比較會解多重積分的人幫你算...
不過後三題不是都很基本嗎？
你第四題和第五題那個是 一分之一 嗎？
還是有寫錯？
就以1來算好了~
你有打錯再改

3.S(1/x)dx= ln x + c
4.S(1+x^2)dx= x + x^3/3 + c
5.S(1+x^3)dx= x + x^4 + c

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圖 1.
第一題詳解

【第一題詳解】
請先處理內部的 ∫ (x^2+y^3) dx.
dx 即為對 x 做處理, y 視為常數.

STEP1: ∫ (x^2+y^3) dx = ∫ (x^2) dx + ∫ (y^3) dx.
STEP2: 順利解出 ∫ (x^2) dx，接著提出 y^3，成為 (y^3) × ∫ (1) dx.
STEP3: 順利解出 (y^3) × ∫ (1) dx, 得到 ∫ (x^2+y^3) dx = [1/3 × (x^3)] + [x × (y^3)] + C (C 為常數, 一定要加).

原式 = ∫∫ (x^2+y^3) dx dy
    = ∫ {[1/3 × (x^3)] + [x × (y^3)] + C} dy

依此類推, 提出不含 y 的項, 稍作處理, 即可得到原式等於 [(1/3) × (x^3) × y] + [(1/4) × x × (y^4)] + [C × y] + C* (C* 為另一個常數).

詳細計算過程請參見上圖.

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圖 1.
第三題公式證明

【第二題詳解】
同上題, 依此類推.

【第三題詳解】
由微分公式 d/dx [ln(x)] = 1/x, x > 0, 很自然的可以推論得
∫ (1/x) dx = ln(x) + C, x > 0.

上述公式可以推廣成
∫ (1/x) dx = ln|x| + C, x ≠ 0.

公式證明見上圖. 更詳細的公式證明, 請參閱微積分課本.

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下面是引用綠島於2006-04-27 23:25發表的 :
多重積分的部份我沒學過~
不是很確定的我就沒 PO 了~
看有沒有比較會解多重積分的人幫你算...
不過後三題不是都很基本嗎？
你第四題和第五題那個是 一分之一 嗎？

5.S(1+x^3)dx= x + x^4 + c
感謝綠島大大
不過,不是一分之一(不會這麼簡單吧)
還有少打了/4歐

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下面是引用易平於2006-04-28 17:06發表的 :

5.S(1+x^3)dx= x + x^4 + c
感謝綠島大大
不過,不是一分之一(不會這麼簡單吧)
還有少打了/4歐

呵呵~你被我抓包了~
本來你是講到第4題的
不管怎樣~你知道就好囉！
既然題目已經變了~
就照題目算吧！
前三題有人解了~
第四題這樣的話應該不用解了吧！
∫ 1/1+x^2 dx = tan^-1(x) + c
這個就是微積分的其中一個公式囉！
第五題是這樣算的...



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圖 1.
第三題補充

下面是引用易平於2006-04-29 11:16發表的 :
關於第三題
你第三題的第一行到第二行是怎麼變的
我看不太懂耶

請參見上圖.
Note: log(a) - log(b) = log(a/b).
　　　 ln(a) - ln(b) = ln(a/b).

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下面是引用易平於2006-04-29 10:24發表的 :
Re:您好
圖一 第四行的∫(1)是什麼意思啊(>_<)

(1) dx 代表某個函數一次微分後為 1, 所以原來的函數 (尚未微分前) 一定是 x.
∫ (1) dx 的涵義即為將 (1) dx 做一次積分, 變回原來的函數.

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第四題與第五題不是只有一種算法, 建議你可以直接延用第三題的結果就好了, 雖然解出來不會是最簡, 老師可能會給你對. 這兩題解釋起來有點麻煩, 先把基本的題型弄會就行了.

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給樓主 易平 一個建議：
會問題目表示你很用心去看~
數學的東西...
很多都是從基礎慢慢打的~
不像是離散數學~
離散數學大部分是不用從頭唸起的...
可以跳著念...
微積分的東西
高中數學 還是要有一定的基礎~
來看這些題目~
甚至以後學比較進階的~
都會比較有幫助囉！

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這應該不算難題吧
研究所來說算送分題嚕
看到要先笑一下再作答喔
^^"

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