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设 u=U(x,y), 是双变量函数。
当考虑所谓 "偏微分"(动词) 或 "偏导数"(名词)时, 是把双变量函数之中的两个变数固定其中之一,而只看另一个变数对 u 的影响。例如:
令 Dx(u) 表示 partial u/partial x (对 x 的偏导数), 是把 y 固定, 只有 x 变动时看它对u=U(x,y) 的影响。
同理, 令 Dy(u) 表示对 y 的偏导数, 则是把 x固定, 看只有 y 变动时对 u=U(x,y) 的影响。
但 u=U(x,y) 的 x, y 都是自变数, 两者都可在一定范围内自由变动。因此, 有时候我们需要知道: 当 x, y 同时有微量变动时, 对 u 的影响大概有多少? 也就是看U(x+dx,y+dy) - U(x,y)的近似值。在可微分条件下, 忽略 dx 和 dy 的交叉乘积及高次项效应, 得其近似值dU(x,y) = Dx(U(x,y))*dx + Dy(U(x,y))*dy这式子即是 U(x,y) 的 "全微分" (名词)。
注意这里 "偏导数" 和 "全微分" 有两点不同:
(1) 偏导数一次只看一个自变数的影响, 其他自变数则暂时固定; 而全微分是所有自变数同时都可以动。
(2) 偏导数, 以及单变量函数中的 "导数", 其意义和 "微分"(differential) 是不同的。
导数 (derivative) 及偏导数 (partialderivative) 看自变数对依变数的影响,是标准化过的, 也就是化为自变数变动一单位时依变数变动多少单位?而 "微分" 则是看自变数实际变化某个量, 造成依变数影响有多大?这是没有标准化的。
因此, 如果只有一个自变数 x, u=U(x), 则
对 x 的导数 = du/dx = U'(x)
微分 = du = dU(x) = U'(x)*dx
有两个自变数 x, y 时, u=U(x,y), 则
对 x 的偏导数 partial u/partial x = Dx(U)
对 y 的偏导数 partial u/partial y = Dy(U)
全微分 = Dx(U)*dx + Dy(U)*dy
= (x 有 dx 变动而 y 不动时对 u=U(x,y) 的效应)
+ (y 有 dy 变动而 x 不动时对 u=U(x,y) 的效应)
偏, "partial", 讲的是 "部分" 的影响;全, "total", 说的是 "全部" 的效应。
而 "导数(derivative)" 讲的是 "改变率"(rate);
"微分 (differential)" 谈的则是 "改变量"(value)。
所以, 如果 u=U(x,y) 代表消费甲物 x 单位及乙物 y 单位所获得的效用, 则偏导数看的是某物增减一单位消费量而其他物不变时,效用会改变多少?
全微分看的则是: 两种财货的消费量各有某微小幅度变动时, 效用改变了多少?
