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設 u=U(x,y), 是雙變量函數。
當考慮所謂 "偏微分"(動詞) 或 "偏導數"(名詞)時, 是把雙變量函數之中的兩個變數固定其中之一,而只看另一個變數對 u 的影響。例如:
令 Dx(u) 表示 partial u/partial x (對 x 的偏導數), 是把 y 固定, 只有 x 變動時看它對u=U(x,y) 的影響。
同理, 令 Dy(u) 表示對 y 的偏導數, 則是把 x固定, 看只有 y 變動時對 u=U(x,y) 的影響。
但 u=U(x,y) 的 x, y 都是自變數, 兩者都可在一定範圍內自由變動。因此, 有時候我們需要知道: 當 x, y 同時有微量變動時, 對 u 的影響大概有多少? 也就是看U(x+dx,y+dy) - U(x,y)的近似值。在可微分條件下, 忽略 dx 和 dy 的交叉乘積及高次項效應, 得其近似值dU(x,y) = Dx(U(x,y))*dx + Dy(U(x,y))*dy這式子即是 U(x,y) 的 "全微分" (名詞)。
注意這裡 "偏導數" 和 "全微分" 有兩點不同:
(1) 偏導數一次只看一個自變數的影響, 其他自變數則暫時固定; 而全微分是所有自變數同時都可以動。
(2) 偏導數, 以及單變量函數中的 "導數", 其意義和 "微分"(differential) 是不同的。
導數 (derivative) 及偏導數 (partialderivative) 看自變數對依變數的影響,是標準化過的, 也就是化為自變數變動一單位時依變數變動多少單位?而 "微分" 則是看自變數實際變化某個量, 造成依變數影響有多大?這是沒有標準化的。
因此, 如果只有一個自變數 x, u=U(x), 則
對 x 的導數 = du/dx = U'(x)
微分 = du = dU(x) = U'(x)*dx
有兩個自變數 x, y 時, u=U(x,y), 則
對 x 的偏導數 partial u/partial x = Dx(U)
對 y 的偏導數 partial u/partial y = Dy(U)
全微分 = Dx(U)*dx + Dy(U)*dy
= (x 有 dx 變動而 y 不動時對 u=U(x,y) 的效應)
+ (y 有 dy 變動而 x 不動時對 u=U(x,y) 的效應)
偏, "partial", 講的是 "部分" 的影響;全, "total", 說的是 "全部" 的效應。
而 "導數(derivative)" 講的是 "改變率"(rate);
"微分 (differential)" 談的則是 "改變量"(value)。
所以, 如果 u=U(x,y) 代表消費甲物 x 單位及乙物 y 單位所獲得的效用, 則偏導數看的是某物增減一單位消費量而其他物不變時,效用會改變多少?
全微分看的則是: 兩種財貨的消費量各有某微小幅度變動時, 效用改變了多少?
