1.d θ =dtan^-1(y/x)等於
__d(y/x)___
  1+(y/x)^2
繼續算下去的話
d(y/x)為什麼等於(xdy-ydx)/x^2呢???

2.積分因數怎麼來的,可以用簡單的方法告訴我嗎???

3.∫e^at*sinωtdt等於
___(asinωt - ωcosωt)*e^a___
          a^2+ω^2
部分積分的這個公式是怎麼來的呢???

4.y'' - 3y' + 2y=xe^2x + sinx
這個方程式中,為什麼特別積分(用待定係數法)
Y=A(x^2)(e^2x) + Bx(e^2x) + Csinx + Dcosx
會多出一個cosx呢???

5.為什麼在一個電路方程式中補足函數會是暫態電流
而特別積分會是穩態電流呢???

6.向量分析中,若 i =(1,0,0) j =(0,1,0) k =(0,0,1)
為什麼 i x j=(1)(1)sin90°k = k 呢???

7.∫ tanx dx=??? ∫ lnx dx=???

1.d θ =dtan^-1(y/x)
__d(y/x)___
1+(y/x)^2
其中,d(y/x)為什麼等於(xdy-ydx)/x^2呢???

SOL:
如果說你把x,y當成是y=y(x)=>dy/dx=y'
但是, 若我們感興趣的是看個別x ,y 的變異，則
利用全微分=>d(y/x)=(xdy-ydx)/x^2,
好處是不需要了解y是x的函數或x是y的函數。

7. .∫ tanx dx=.∫ sinx/cosx dx = ∫ -1/u du =- lncosx =ln(secx)
cosx=u -sinx dx =du

∫ lnx dx= ∫ ue^u du=ue^u-∫e^u du=ue^u-e^u=x[(lnx)-1]
lnx =u
e^u=e^(lnx)=x
e^u du =dx

6. i j k 互相垂直 i j k長度都是1
是屬於外積...
=i*jXsin90度
=1也等於k

4.   asin(bx)or a cos(bx)
initial guess for yp dcos(bx) or csin(bx)

下面是引用易平於2007-01-17 21:35發表的 工程數學的一些問題:
3.∫[e^atsin(ωt)]dt等於
  asinωt - ωcosωt  
a²+ω²
分部積分的這個公式是怎麼來的呢???
.......

integral by parts做兩次...
做第一次分部積分得到
a^-1e^atsin(wt)-a^-1w∫[cos(wt)e^at]dt

再對後面那項積分式做第二次分部積分得到
a^-1cos(wt)e^at+a^-1w∫sin(wt)e^atdt
最後一項會跟左式一模一樣
也就是∫[e^atsin(ωt)]dt=a^-1e^atsin(wt)-{(a^-1w)[a^-1cos(wt)e^at+a^-1w∫sin(wt)e^atdt]}
因此將該項從右式移到左式之後,左式會多出(1+w²a^-2),這時只要兩邊同除即可得到答案摟
所以您第三題的右式抄錯摟XD...右式還要再多一個e^at

下面是引用mo0339於2007-02-08 22:35發表的 :
6. i j k 互相垂直 i j k長度都是1
是屬於外積...
=i*jXsin90度
=1也等於k
.......

iXj=
      ┌i j k┐
det(│100│)
      └010┘
=k

下面是引用易平於2007-01-17 21:35發表的 工程數學的一些問題:
1. d(y/x)為什麼等於(xdy-ydx)/x^2呢???

2. 積分因數怎麼來的,可以用簡單的方法告訴我嗎???
.......

1. chain rule的微前乘後 微後乘前
d(y/x)=(y/x)'dx=(yx^-1)'dx=(y'x^-1-yx^-2)dx
而y'就是dy/dx
(y'x^-1-yx^-2)dx=(x^-1dy/dx)dx-(yx^-2)dx=x^-1dy-(yx^-2)dx
將x^-2提出來就得到(xdy-ydx)/x²
2. integrating factor 積分因子 應該就是您說的積分因數吧
解非正合(non-exact)ODE時若能找到一積分因子同乘左右式 就能變成正合(exact)ODE直接偏積分得到通解
而後解一階線性跟高階變係數ODE(例如因變數變更)也會用到 甚至推S-L定理的權函數也會用